Dans cet article, nous traitons le calcul des probabilités, et la façon d'utiliser la formule de Laplace à cette fin.
Les mathématiques se comportent toujours de la même manière. Le résultat est toujours fixe. 1 + 2 sera toujours 3. 50 divisé par 5 est à chaque fois 10. Cette certitude n’est pas toujours présente dans la vie quotidienne. Les choses ne sont donc pas toujours aussi prévisibles.
Calcul des probabilités avec une pièce de monnaie
Si l’on joue à pile ou face on ne sait pas sur quelle côté la pièce de monnaie tombera. Ce jeu est imprévisible et dépend donc complètement du hasard.
Bien que le résultat soit imprévisible, nous savons qu'il y a autant de chances de lancer pile que de lancer face. La probabilité des deux résultats possibles est la même : la moitié, ½ ou 50%.
Il y a ½ chances de lancer pile et ½ chances de lancer face. Chaque résultat a 50% de chances.
Quelles sont les chances ?
Une probabilité se situe toujours entre 0% et 100%. Une probabilité de 0% fait référence à une impossibilité. Une chance de 100% ? Cela signifie que le résultat est une certitude. On peut noter ces probabilités de différentes manières :
Calcul des probabilités avec une pizza
Prenons un exemple un peu plus difficile. Tu as une pizza, divisée en huit parts égales. Ton ami te demande une tranche et tu lui permets d'en avoir une. La pizza est encore complète et il a donc le choix entre les 8 morceaux.
Il y a huit morceaux égaux. La probabilité que ton ami choisisse le sixième morceau est de 1 sur 8.
En bref, chaque morceau de pizza a ⅛ chances d'être choisi par ton ami.
Si tu regardes de près, tu verras que les morceaux 4, 5 et 6 contiennent un peu moins de fromage. Ce n'est pas clairement visible; tu sais que ton ami ne le remarquera pas. Bien sûr, tu espères qu'il choisira une de ces pièces.
Maintenant, quelles sont les chances qu'il choisisse un de ces morceaux ? Chaque morceau a 1 chance sur 8 d'être choisi. Trois de ces huit morceaux ont moins de fromage. La chance est 3 sur 8.
La probabilité ou la chance = nombre de morceaux moins riches en fromage / nombre total = 3/8
Quelle est la chance qu'il choisisse un morceau riche en fromage ? Il y a cinq pièces riches en fromage : les numéros 1, 2, 3, 7 et 8. La chance est donc 5 sur 8.
Cela nous amène à la formule de Laplace.
La formule de Laplace pour une distribution uniforme des probabilités
Pour ne pas devoir écrire à chaque fois “la chance” ou “la probabilité”, nous utilisons la notation plus courte P(A). Le P vient du mot anglais “probability”. Dans notre exemple, A est égal aux morceaux de pizza.
Comment calculer la probabilité d'un événement ? Nous examinons d'abord le nombre de résultats favorables. Dans notre exemple, il s'agit de 3. Il serait favorable pour toi que ton ami choisisse un morceau de pizza moins riche en fromage. Le nombre de ces morceaux est de 3. Le nombre de résultats possibles est de 8, car la pizza a 8 morceaux.
Nous notons la formule de Laplace comme :
P(A) = nombre de résultats favorables de A / nombre de résultats possibles = #A/#U
Les lois de probabilité non uniformes
Attention ! On ne peut utiliser la formule de Laplace uniquement si tous les résultats sont également probables. Dans le cas de la pizza, chaque morceau avait 1 chance sur 8. Les probabilités étaient identiques pour chaque morceau. Si la pizza n'avait pas été divisée en morceaux égaux, la probabilité par morceau ne serait pas égale non plus : car ton ami a plutôt tendance à choisir un plus grand morceau.
Conclusion : la formule de Laplace
Pour calculer le degré de probabilité auquel tous les résultats sont également probables, c.-à-d. une distribution uniforme des probabilités, on utilise la formule de Laplace :
Nouchka de HelloProf a un penchant pour les chiffres et les calculs. Dans cette série, elle t’aide à mieux comprendre certains concepts mathématiques. Pour toute question sur cet article, envoie un courriel à nouchka@helloprof.com. Elle se fera un plaisir de te l'expliquer ! À la recherche d’un soutien scolaire en mathématiques ? Alors jette un coup d'œil au site web de HelloProf.
