Si tu te retrouves sur cette page, tu es probablement en train d'apprendre les fonctions (f) à l’école. La fonction de la forme f(x)=ax+b ne te dit pas grand chose ? Ci-dessous, Nouchka de Helloprof t'expliquera ce que signifient les fonctions du premier degré (aussi connues sous le nom de fonctions linéaires).
Tout d’abord, tu peux toujours remplacer f(x) par "y". Une fonction, c’est une équation: f(x)=ax+b est la même chose que y=ax+b.
Cela peut sembler difficile, mais ce n’est pas du tout le cas! Dans ta vie quotidienne, tu as sans doute utilisé ces fonctions plusieurs fois.
Exemple 1: un mur plein de photos
Imagine-toi que tu voudrais décorer ta chambre avec de nombreuses photos Polaroid de tes amis et toi. Tu n'es pas sûr si tu dois prendre 30, 40 ou 50 photos. Quel est le coût de chaque scénario ? Un caméra Polaroid coûte environ 70 euros et le prix unitaire des photos est 1 euro.
Pour 30 photos: €70 + 30 * €1 = €100
Pour 40 photos: €70 + 40 * €1 = €110
Pour 50 photos: €70 + 50 * €1 = €120
Nous concluons:
Pour x photos: €70 + x * €1 = y of y=x+70
"x" est le nombre de photos. Et "y", c'est le prix total.
Le graphique ci-dessous le montre visuellement:
On a utilisé la fonction linéaire f(x)=x+70. Facile, n’est-ce pas ?
En observant f(x)=ax+b, nous concluons que dans la fonction ci-dessus a=1 et b=70.
Exemple 2: jouer sur ta PlayStation
Aujourd’hui, Red Dead Redemption 2 est le jeu vidéo le plus populaire. Combien ça te coûte pour jouer ce jeu en ligne ? L'achat du jeu-même coûte 59 euros et un abonnement d'un mois coûte environ 8 euros. Quel est le lien entre le nombre de mois que tu joues ce jeu en ligne et le coût total ?
Pour 1 mois: €59 + 1 * €8 = €67
Pour 2 mois: €59 + 2 * €8 = €75
Pour 3 mois: €59 + 3 * €8 = €83
Pour "x" mois: €59 + x * €8 = y
On a utilisé la fonction linéaire f(x)= 8x+59, où a=8 et b=59.
Et alors, qu’est-ce que f(x)=ax+b ?
Quelques exemples:
Dans y=3x+5, a=3 et b=5.
Dans y=2+x/3, a=1/3 et b=2.
"a" est ce qu’on multiplie par x et b est ce qu’on additionne.
On commence par "a"
Analysons la fonction f(x)=2x, ce qui est la même chose que l’équation y=2x.
Ici, a=2 et b=0.
Si x=1, alors y = 2*1 = 2
Si x=2, alors y = 2*2 = 4
Si x=3, alors y = 2*3 = 6
Cela ressort du tableau ci-dessous.
Nous constatons que chaque chiffre dans la rangée supérieure est doublé dans la rangée inférieure. Cela est logique étant donné que nous multiplions toujours par 2: y=2x.
Le graphique ci-dessous montre visuellement la fonction f(x)=2x:
Un autre exemple: équation y=x. Dans le tableau, les valeurs de "x" sont égales à celles de "y". Alors x est égale à y.
Maintenant, présentons les deux équations précédentes dans le même graphique. Il y a une différence claire entre la droite jaune et la droite bleue.
Le graphique de y=2x (f(x)=2x) est plus raide que le graphique de f(x)=x. C'est parce que x et y n’ont pas les mêmes valeurs dans ces deux équations. Les valeurs de y sont, en effet, multipliées par 2. Nous constatons pour f(x)=2x que le 2 devant x fait en sorte que le graphique monte davantage.
Nous appliquons cette approche à la fonction du premier degré f(x)=ax+b.
Dans le premier exemple f(x)=2x, a=2 et b=0.
Dans f(x)=x, a=1 et b=0.
Nous concluons ainsi: plus la valeur de "a" est élevée, plus le graphique est raide. Voilà pourquoi "a" est appelé la pente.
Et "b" alors ?
Cela est clairement spécifié par la fonction f(x)=x+2.
Si nous remplaçons "x" par un nombre réel, nous obtenons toujours une autre valeur pour "y".
Pour: x=1: y = x+2 = 1+2 = 3
Nous constatons que la valeur de "y" est toujours deux unités plus grande que la valeur de "x". En effet, l’équation est alors y=x+2. C'est logique, non ?
Nous illustrons cette formule par un graphique. Là aussi, nous constatons que la valeur de "y" est toujours 2 unités plus grande que celle de "x.
Nous comparons ce graphique à f(x)=x. Ici aussi, nous voyons une différence considérable.
La différence se trouve dans la position de la droite. Celle de f(x)=x+2 coupe l’axe des "y" (aussi appelé l’axe des ordonnées) en (y=2). La droite de f(x)=x coupe l’axe des "y" en (y=0).
Si nous appliquons cela à f(x)=x+b, la droite coupera l’axe des "y" en (y=b).
Nous constatons que la valeur de "b" est donc le point d’intersection de la fonction et de l’axe des ordonnées. Pratique, n’est-ce pas?
Bref: qu’est ce qu’une fonction du premier degré?
Une fonction du premier degré est notée par f(x)=ax+b (ou y=ax+b).
"a" est la pente: "a" détermine la direction de la droite, et "b" est le point d’intersection avec l’axe des ordonnées.
Attention: parfois on utilise la notation f(x)=mx+q. C’est exactement la même chose. On peut alors remplacer "m" par "a" et "q" par "b".
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