Comment calculer avec les angles et les côtés d'un triangle ? Dans cet article, nous examinons de plus près les rapports trigonométriques. On parle de sinus, de cosinus et de tangente.
Que signifient sinus, cosinus et tangente ?
Supposons que vous voyagez à travers les montagnes. Le panneau de signalisation indique une pente de 28%. C'est le cas pour les 2 prochains kilomètres. Quand vous serez à l'étage, vous profiterez d'une très belle vue.
Vous vous demandez à quelle altitude vous êtes. Malheureusement, il n'y a aucun panneau indiquant la hauteur de la montagne. Quelle est la hauteur de cette montagne ? C'est facile à calculer avec des rapports trigonométriques.
Nommer les côtés dans un triangle rectangulaire
La trigonométrie dont nous discutons ici concerne un triangle rectangulaire. Pour expliquer les bases de la trigonométrie, il est important de donner un nom aux trois côtés.
Nous regardons les côtés par rapport à l'angle A. Un triangle rectangulaire a une hypoténuse (le côté le plus long). Les deux autres côtés font l'angle aigu. Pour le point A, il y a un côté adjacent et un côté opposé.
Jetez un coup d'œil aux triangles ci-dessous. Les triangles ont exactement la même forme, seule la taille est différente. Ils ont les mêmes angles, mais des côtés différents.
Si nous divisons l’hypoténuse des deux triangles par le côté rectangulaire inférieur, nous obtenons ce qui suit :
Nous obtenons le même résultat ici. Quand on connaît les angles, le rapport des côtés est fixe. Peu importe leur longueur.
Les proportions des côtés d'un triangle rectangulaire sont déterminées par ses angles.
Il y a trois côtés dans un triangle. Cela signifie qu'il y a trois rapports possibles des longueurs des côtés d'un triangle. Et, comme vous l'avez peut-être deviné, ces trois rapports ne sont rien d'autre que le sinus, le cosinus et la tangente.
Les rapports trigonométriques
Chaque type de rapport a reçu un nom : sinus, cosinus et tangente.
En l’appliquant au triangle suivant pour l'angle α, vous obtenez le résultat suivant.
Appliqué à notre triangle
Un sinus, un cosinus ou une tangente est toujours pris d’un angle. On reprend le triangle de tout à l’heure.
Le sinus de A, est le sinus de 53°. Ceci a la notation suivante : sin(A)=sin(53°). Calculez-vous cela avec votre calculatrice graphique ? Puis on obtient un 0,8 arrondi.
Nous avons vu plus haut que le sinus est le côté opposé, divisé par l’hypoténuse. Dans cet exemple, le sinus de A est ⅘= 0.8. Le même nombre que celui calculé par la calculatrice.
Conclusion : qu'est-ce qu'un sinus, un cosinus ou une tangente ?
Le sinus, le cosinus et la tangente font des connexions entre les côtés et les coins dans des triangles rectangulaires. S'il manque des données, nous pouvons facilement les trouver grâce à nos trois ratios.
Maintenant que vous comprenez tout cela, vous n'avez plus qu'à vous rappeler les proportions.
Vous n'avez pas envie de faire un effort pour vous souvenir de ce qui précède ? Alors n'oubliez pas SOH CAH TOA.
Sin = Opposé / Hypoténuse (S.O.H.)
Cos = Adjacent / Hypoténuse (C.A.H.)
Tan = Opposé / Adjacent (T.O.A.)
Application : hauteur de la montagne
Nous revenons à notre exemple au début. Nous savons que 2000m ont été parcourus. Nous savons aussi qu'il y avait une pente de 28°.
La goniométrie ne s'applique que dans un triangle rectangulaire. Nous divisons la montagne de telle sorte qu'un triangle rectangulaire est créé. Nous appliquons nos données à ce triangle.
Quelle est la hauteur de la montagne ? Quelle est la longueur de x ? L'angle A est donné, 28°. Le calcul du sinus, du cosinus ou de la tangente est possible à l'aide d'une calculatrice. L’hypoténuse (H) est donné. Le côté demandé est le côté opposé (O) par rapport à l'angle A. Nous utilisons le sinus (S.O.H.).
Sin(A) = côté opposé / hypoténuse
Sin(28°) = x / 2000m
x = sin(28°) * 2000m
x = 0,4695 * 2000m
x = 939m
L'endroit où vous vous trouvez sur la montagne est à 939m d'altitude.
Nous ne pouvons pas seulement calculer les hauteurs des montagnes. Ceci s'applique également à l'architecture ou à la construction des armoires, par exemple. La trigonométrie discutée est la base de nombreuses applications, par exemple le cercle trigonométrique. Mais on en reparlera plus tard !
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